Ступені свободи: визначення та значення

Ваше життя складається з обмежень вашого часу. Коли ви йдете на роботу, скільки часу ви витрачаєте на навчання, скільки вам потрібно спати – все це приклади обмежень, які на вас накладають. Подумайте, наскільки ви вільні з точки зору того, скільки обмежень на вас накладають.

У статистиці також існують обмеження. Тести хі-квадрат використовують ступені свободи, щоб описати, наскільки вільним є тест, виходячи з накладених на нього обмежень. Читайте далі, щоб з’ясувати, наскільки вільним є тест хі-квадрат насправді!

Значення ступенів свободи

Багато тестів використовують ступені свободи, але тут ви побачите ступені свободи стосовно тестів хі-квадрат. Загалом, ступені свободи – це спосіб виміряти, скільки тестових статистик ви обчислили на основі даних. Чим більше тестових статистик ви обчислили на основі вашої вибірки, тим менше свободи у вас є для вибору на основі ваших даних. Звичайно, є більш формальний спосіб описатиці обмеження також.

A обмеження який також називається обмеження це вимога, яка накладається на дані моделлю для даних.

Давайте розглянемо приклад, щоб побачити, що це означає на практиці.

Припустимо, що ви проводите експеримент, у якому ви кидаєте чотиригранний кубик \(200\) разів. Тоді розмір вибірки дорівнює \(n=200\). Один обмеження полягає у тому, що для вашого експерименту потрібно, щоб розмір вибірки був \(200\).

Кількість обмежень також залежатиме від кількості параметрів, необхідних для опису розподілу, і від того, чи знаєте ви, що це за параметри.

Далі розглянемо, як обмеження співвідносяться зі ступенями свободи.

Формула ступенів свободи

Для більшості випадків формула

ступені свободи = кількість спостережуваних частот – кількість обмежень

Якщо повернутися до наведеного вище прикладу з чотиригранним кубиком, то було одне обмеження. Кількість спостережуваних частот дорівнює \(4\) (кількість граней на кубику), отже, ступінь свободи буде \(4-1 = 3\).

Існує більш загальна формула для ступенів свободи:

Ступені свободи = кількість клітинок (після об’єднання) – кількість обмежень.

Вам, напевно, цікаво, що таке комірка і чому ви можете її комбінувати. Давайте розглянемо приклад.

Ви розсилаєте опитування \(200\) людям, запитуючи, скільки у них домашніх тварин. Ви отримуєте наступну таблицю відповідей.

Таблиця 1: Відповіді з опитування власників домашніх тварин.

Однак модель, яку ви використовуєте, є хорошим наближенням, якщо жодне з очікуваних значень не опускається нижче \(15\). Тому ви можете об’єднати останні два стовпчики даних (відомі як комірки) в таблицю нижче.

Таблиця 2: Відповіді з опитування про власників домашніх тварин з комбінованими комірками.

Тоді є \(5\) клітинок і одне обмеження (щоб загальна сума очікуваних значень була \(200\)). Таким чином, ступінь свободи дорівнює \(5 – 1= 4\).

Зазвичай ви об’єднуєте лише сусідні клітинки у своїх таблицях даних. Далі ми розглянемо офіційне визначення ступенів вільності за допомогою розподілу Хі-квадрат.

Визначення ступенів свободи

Якщо у вас є випадкова величина \(X\) і ви хочете зробити наближення для статистики \(X^2\), вам слід скористатися сімейством розподілів \(\chi^2\). Це записується так

де \(O_t\) – спостережена частота, \(E_t\) – очікувана частота, і \(N\) – загальна кількість спостережень. Пам’ятайте, що критерій хі-квадрат є хорошим наближенням, якщо жодна з очікуваних частот не є нижчою за \(5\).

Нагадування про цей тест і про те, як ним користуватися, див. у розділі Тести хі-квадрат.

Розподіл \(\chi^2\) насправді є сімейством розподілів, які залежать від ступенів свободи. Ступені свободи для цього типу розподілу записуються за допомогою змінної \(\nu\). Оскільки при використанні розподілу \(\chi^2\) вам може знадобитися об’єднання комірок, ви можете скористатися визначенням, наведеним нижче.

Для розподілу \(\chi^2\) кількість ступенів вільності, \(\nu\), задається формулою

Будуть випадки, коли клітинки не будуть об’єднані, і в цьому випадку ви можете дещо спростити. Якщо повернутися до прикладу з чотиригранним кубиком, є \(4\) можливостей, які можуть випасти на кубику, і це очікувані значення. Отже, для цього прикладу \(\nu = 4 – 1 = 3\), навіть якщо ви використовуєте розподіл Хі-квадрат для його моделювання.

Щоб бути впевненим, що ви знаєте, скільки ступенів свободи ви маєте при використанні розподілу Хі-квадрат, це записується у вигляді підрядка: \(\chi^2_\nu \).

Таблиця ступенів свободи

Після того, як ви знаєте, що ви використовуєте розподіл Хі-квадрат з \(\nu\) ступенями свободи, вам знадобиться таблиця ступенів свободи для перевірки гіпотез. Ось фрагмент таблиці Хі-квадрат.

Таблиця 3. таблиця хі-квадрат.

Число ступенів свободи тіла

Тепер, після того як ми вивчили кілька моделей тіл, можна остаточно і коректно сформулювати відповідь на питання: «Що означає задати, визначити положення тіла?» – Вказати чисельної значення координат деяких точок тіла так, щоб положення всього тіла (його частини) було визначено однозначно.

Число незалежних координат, які однозначно визначають положення тіла або системи тіл в просторі називається числом ступенів свободи.

Число ступенів свободи дуже важлива характеристика описуваної системи, хоча б тому, що визначає число незалежних рівнянь, що описують рух системи.

Підрахуємо число ступенів свободи деяких простих систем.

Матеріальна точка, за визначенням, не має розмірів, тому її положення в просторі визначається однозначно трьома координатами. Отже, число ступенів свободи вільно матеріальної точки дорівнює трьом. Якщо на рух матеріальної точки накладаються додаткові умови, то число її ступенів свободи може зменшитися. Так якщо точка рухається по заданій поверхні, то її становище визначається двома незалежними координатами, отже, число ступенів свободи дорівнює двом; при русі по заданій лінії число ступенів свободи зменшується до однієї. Підкреслимо, це не означає, що при русі по заданій лінії може змінюватися тільки одна і – можуть змінюватися всі три, але становище точки на заданій лінії визначається однією координатою, і якщо вона відома, то можуть бути визначені і дві інших. Тим не менш, опис положення точки на заданій лінії за допомогою однієї координати виявляється не завжди зручним. Цінність розглянутих нами декартових координат в тому, що вони дозволяють встановити фізичні закони, що описує рух уздовж всіх прямих (всі прямі однакові!). У той же час, для опису зміни координат на довільній лінії довелося б записувати свої закони для кожної лінії – окружності, параболи, синусоїди і т.д. Тому часто одномірне рух уздовж відомої лінії описують за допомогою двох або трьох координат. Однак і в цьому випадку число ступенів свободи залишається рівним одиниці.

Якщо механічна система може бути промоделювати як N матеріальних точок, що рухаються в просторі, то, очевидно, повне число її ступенів свободи дорівнює 3N. Але якщо на рух цих матеріальних точок накладаються додаткові обмеження, то число ступенів свободи зменшується.

Розглянемо, як можна описати положення в просторі двох матеріальних точок жорстко зв’язаних між собою (щось схоже на гантелі). Дві точки мають шість ступенів свободи, які можуть бути описані шістьма координатами – x1, y1, z1, x2, y2, z2, але так як відстань між точками незмінно, то на ці координати накладається умова

(x1-x2) 2+ (y1-y2) 2+ (z1-z2) 2 = l2 (x1-x2) 2+ (y1-y2) 2+ (z1-z2) 2 = l2,
де l – відстань між точками, тому число незалежних координат, або число ступенів свободи дорівнює п’яти.

Таким чином, число ступенів волі системи, що складається з N матеріальних точок одно 3N мінус число додаткових умов (зв’язків), що накладаються на рух цих точок.

Число ступенів свободи може бути підраховано і іншим способом. Звернемо увагу, що точне визначення координат зменшує «рухливість» точки (або системи точок). Так, наприклад, якщо для матеріальної точки задана координата z, то точка може рухатися тільки в площині перпендикулярній осі Z, завдання ще одне координати (скажімо y), призводить до того, що точка може рухатися тільки уздовж прямої паралельної осі X. Тому число ступенів свободи можна знаходити, підраховуючи, скільки незалежних координат необхідно визначити, щоб жорстко «закріпити» тіло. За допомогою такого підходу знайдемо число ступенів свободи системи, що складається з двох жорстко зв’язаних точок. Ставлячи трьох координати однієї точки, ми її як би закріплюємо, тоді друга точка зможе рухатися так, що б її відстань до першої залишалося незмінним, тобто по поверхні сфери радіуса l. Зрозуміло, що якщо визначено положення двох точок твердого тонкого стрижня, то задане і положення всього стрижня, тому тонкий стрижень має п’ять ступенів свободи.

Порахуємо число ступенів свободи вільно рухомого абсолютно твердого тіла. Виберемо всередині тіла трьох довільних точки A, B, C, які не лежать на одній прямій. (рис 5). Положення однієї точки A, визначається трьома координатами, якщо задано положення точки A, то положення точки B може бути описано двома координатами. Нарешті, при «закріплених» точках A і B, тіло може тільки обертатися навколо осі, що проходить через ці точки. Отже, точка C має одну ступінь свободи. Таким чином, абсолютно тверде тіло має шість ступенів свободи.

Як ми вже відзначали, для опису положення точки можна використовувати різні системи координат, аналогічно, положення твердого тіла також може бути описано різними способами, тільки число незалежних координат у всіх способах опису буде одним і тим же рівним числу ступенів свободи. Так у багатьох випадках, положення твердого тіла, описують, задаючи трьох декартові координати однієї з його точок (частіше центру), і три кути, що визначають його орієнтацію.